Проблемы нелинейного программирования встречаются в естественных науках, технологиях, экономике, математике, деловых отношениях и правительственной науке. Например, нелинейное программирование связано с основной экономической проблемой. Следовательно, в задаче распределения ограниченных ресурсов либо эффективность максимизируется, либо, если потребитель исследуется, он потребляется при наличии ограничений, которые выражают условия нехватки ресурсов. В таком общем контексте математическая постановка задачи может оказаться невозможной, но в конкретных приложениях можно напрямую определить количественную форму всех функций. Например, промышленное предприятие производит изделия из пластмассы. Эффективность производства здесь оценивается прибылью, а ограничения интерпретируются как наличная рабочая сила, производственные площади, производительность оборудования и т.д. Метод рентабельности также подходит для схемы нелинейного программирования. Этот метод был разработан для использования при принятии решений в государственном управлении. Общей функцией эффективности является благосостояние. Здесь возникают две проблемы нелинейного программирования: первая — максимизировать эффект при ограниченных затратах, вторая — минимизировать затраты, пока эффект выше определенного минимального уровня.
Эта задача обычно хорошо моделируется с помощью нелинейного программирования. Результаты решения задачи нелинейного программирования полезны для принятия государственных решений. Полученное решение, конечно, рекомендуется, поэтому необходимо исследовать предположения и точность постановки задачи нелинейного программирования, прежде чем принимать окончательное решение о методе решения нелинейного программирования. Проблемы нелинейного программирования часто возникают в других областях науки. Так, например, в физике целевая функция может быть потенциальной энергией, а ограничениями могут быть различные уравнения движения. В социальных науках и психологии возникает проблема минимизации социальной напряженности, когда поведение людей ограничивается определенными законами.
Глава 1. Нелинейное программирование
1.1 Задачи нелинейного программирования
программирование оптимальность неравенство нелинейный
Задачами нелинейного программирования называются задачи математического программирования, в которых нелинейны и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде неравенств или равенств. Задачи нелинейного программирования можно классифицировать в соответствии с видом функции F(x), функциями ограничений и размерностью вектора х (вектора решений).
Нейролингвистическое программирование в рекламе
... задачи: Рассмотреть использование НЛП в повседневной жизни Рассмотреть как применяется НЛП в рекламе Изучить технологии НЛП, используемые в рекламе Рассмотреть на примерах использование НЛП в рекламе Объектом изучения в курсовой работе является исследование НЛП Предмет изучения - применение в рекламе методики НЛП. ...
В самом общем виде классификация представлена в таблице.
Нет общих методов решения, аналогичных симплексному методу линейного программирования для нелинейного программирования.
В каждом конкретном случае способ выбирается в зависимости от вида функции F(x).
На практике проблемы нелинейного программирования возникают довольно часто, когда, например, затраты возрастают непропорционально количеству приобретенных или произведенных товаров. Многие задачи нелинейного программирования можно аппроксимировать к задачам линейного программирования и найти решение, близкое к оптимальному. Встречаются задачи квадратичного программирования, когда функция есть F(x)полином 2-ой степени относительно переменных, а ограничения линейны. В некоторых случаях может применяться метод штрафных функций, который сводит проблему поиска экстрима при наличии ограничений к аналогичной задаче при отсутствии ограничений, которую обычно легче решить. Но в целом задачи нелинейного программирования — это сложные вычислительные задачи. При их решении часто приходится прибегать к приближенным методам оптимизации. Численные методы — мощный инструмент для решения задач нелинейного программирования. Они позволяют найти решение задачи с заданной степенью точности.
1.2 Общая формулировка нелинейных задач
Найти переменныех1, х2, …, хn, удовлетворяющие системе уравнений
Ш ( х1, х2, …, хn) = bi, i = 1, 2, …, m
и обращающие в максимум ( минимум ) целевую функцию
Z = f ( х1, х2, …, хn)
Примером типичной и простой нелинейной задачи является следующая:
Эта фирма на производство продукта тратит два фонда в размере x1 и x2 соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных сырья и т.п., а величиных1их2- затраты факторов производства. Факторы производства впредь будем считать взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат машин в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).
Объем производства (выраженный в натуральных или стоимостных единицах) является функцией затрат производства Z = f ( х1, х2).
Эта зависимость называется производственной функцией. Издержки зависят от расхода обоих факторов (х1их2) и от цен этих факторов (c1иc2).
Совокупные издержки выражаются формулой b = c1х1+ c2х2. Требуется при данных совокупных издержках определить такое количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.
Математическая модель этой задачи имеет вид: определить такие переменныех1их2, удовлетворяющие условиям
c1х1+ c2х2= b
х1? 0, х2? 0,
при которых функция
Z = f (х1, х2)
достигает максимума. Как правило, функция может иметь произвольный нелинейный вид. При использовании классических методов оптимизации следует четко понимать разницу между локальной конечной точкой функции, глобальной конечной точкой и условной конечной точкой. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше2 (n ? 2).
Будем полагать, что функция Z = f ( х1, х2, …, хn) = f (X)дважды дифференцируема в точке Х* = (х1*, х2*, …, хn* ),(Х* € D(f))и в некоторой ее окрестности.
Методы расчета цен в маркетинге
... всех, который учитывает оплату финансовых ресурсов, необходимых для производства и продажи товаров. Метод успешно подходит при определении объема производства нового продукта для предприятия с известной рыночной ценой. ... ни один производитель не будет оценивать свою продукцию. В любом случае истинная функция издержек заключается в установлении нижнего предела для установления нижнего предела для ...
Если для всех точек Х этой окрестности f (X*) ? f (X) или f (X*) ? f (X), то говорят, что функция f (X)имеет экстремум в X*(соответственно максимум или минимум).
Точка X*, в которой все частные производные функции Z = f (Х)равны 0, называется стационарной точкой. Необходимое условие экстремума.
Если в точке X* функция Z = f (Х)имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны 0:
f ‘x1(X*) = 0, i = 1, 2, …, n.
Следовательно, точки экстремума функции Z = f (Х)удовлетворяют системе уравнений:
Для получения достаточных условий необходимо определить знак дифференциала второго порядка в стационарной точке. Дифференциала второго порядка обозначаетсяd2f (х1, х2, …, хn) f ‘x1(X)найти частную производную по переменной хj, то получим частную производную второго порядка по переменным хi, хj, которая обозначается f »xi, xj(X).
В этом случае
Достаточные условия экстремума.
Двух переменных:
- если Д >
- 0иа11<
- 0 (а22<
- 0), то в точкеХ0функция имеет максимум:
- если Д >
- 0иа11>
- 0 (а22>
- 0),то в точкеХ0- минимум (в этих случаяхХ0= Х*);
- если Д <
- 0, то экстремума нет;
- если Д = 0, то вопрос об экстремуме остается открытым.
1.3 Методы нелинейного программирования
Методы прямого поиска
Ниже рассматривается вопрос анализа «в динамике» для функций нескольких переменных, т. е. исследуются методы и алгоритмы, позволяющие на итерационной основе получать оценки х*— вектора управляемых переменных, которому соответствует минимальное значение функции f(x).
Указанные методы применимы также к задачам максимизации, в которых целевую функцию следует заменить на -f(х).
Методы, ориентированные на решение задач неограниченной оптимизации, можно разделить на три широких класса в зависимости от типа информации, используемой при реализации конкретного метода.
1. Методы прямого поиска, основанные на вычислении только значений целевой функции.
2. Градиентные методы, в которых используются точные значения первых производных f(x).
3. Методы второго порядка, в которых наряду с первыми производными используются также вторые производные функции f(x).
Метод поиска по симплексу(S2-метод)
Одна из наиболее интересных стратегий поиска лежит в основе метода симплексного поиска, предложенного Спендли, Хекстом и Хемсвортом. Следует отметить, что этот метод и другие подобные методы не имеют отношения к симплексному методу линейного программирования, и сходство названий случайно. Процедура симплексного поиска Спендли, Хекста и Химсворта основана на том факте, что экспериментальная выборка, содержащая наименьшее количество точек, является обычным симплексом. Правильный симплекс в n-мерном пространстве — это многогранник, состоящий из n + 1 равноотстоящих вершин. Например, в случае двух переменных симплексом является равносторонний треугольник; в трехмерном пространстве симплекс представляет собой тетраэдр. В алгоритме симплексного поиска используется важное свойство симплексов, согласно которому новый симплекс можно построить на любой грани начального симплекса путем переноса выбранной вершины на надлежащее расстояние вдоль прямой, проведенной через центр тяжести остальных вершин начального симплекса. Полученная таким образом точка является вершиной нового симплекса, исключая вершину исходного симплекса, выбранную на этапе построения. легко видеть, что при переходе на новый симплекс требуется расчет значения целевой функции.
Общая характеристика термина «имидж», его функции и виды
... сегодня, когда возрастают требования к будущему профессионалу, к современному специалисту. Вместе с тем изменяется и сам имидж студентов. Процесс привлечения кандидатов, реализация перспективных проектов, общее ... назначение – достичь эффекта личного притяжения. Тем, кто в полной мере владеет функциями изображения, присуще такое состояние, которое называется магией положения. Акцент на практическом ...
Метод поиска Хука-Дживса
Метод, разработанный Хук и Дживс, является одним из первых алгоритмов, в котором информация из предыдущих итераций учитывается при определении нового направления поиска. По сути, процедура Хука-Дживса представляет собой комбинацию «исследовательского» поиска с циклической сменой переменных и ускоренного поиска по шаблонам с использованием определенных эвристических правил. Поисковые исследования направлены на выявление характера локального поведения целевой функции и определение направлений вдоль «оврагов». Информация, полученная в результате исследовательского поиска, затем используется в процессе поиска модели при движении по «оврагам».
Исследующий поиск.
Для проведения исследовательского поиска необходимо задать размер шага, который может быть разным для разных направлений координат и меняться в процессе поиска. Исследующий поиск начинается в некоторой исходной точке. Если значение целевой функции в контрольной точке не превышает значения функции в начальной точке, то шаг поиска считается успешным. Если нет, вам нужно вернуться к предыдущему пункту и сделать шаг в обратном направлении, а затем проверить значение целевой функции. После перебора всех N координат исследующий поиск завершается. Полученную в результате точку называют базовой точкой.
Поиск по образцу.
Поиск шаблона — это один проход от базовой точки, полученной вдоль прямой линии, соединяющей эту точку с предыдущей базовой точкой. Новая точка образца определяется в соответствии с формулой.
Метод множителей Лагранжа
По сути, этот метод устанавливает условия, необходимые для определения оптимальных точек в задачах с ограничениями типа равенства. В этом случае задача с ограничениями потребуется в эквивалентной задаче безусловной оптимизации, в которой появляются некоторые неизвестные параметры, называемые множителями Лагранжа.
Глава 2. Решение задач
2.1 Постановка задачи нелинейного программирования
Решить задачу нелинейного программирования- это значит найти такие значения управляющих переменных xj, j=1, n, которые удовлетворяют системе ограничений и доставляют максимум или минимум функции f.
Для задачи нелинейного программирования, в отличие от линейных задач, нет единого решения. В зависимости от типа целевой функции и ограничений было разработано несколько специальных методов решения, включая методы множителей Лагранжа, квадратичное и выпуклое программирование, градиентные методы, ряд приближенных методов решения и графический метод. Отметим, что нелинейное моделирование экономических задач часто бывает довольно искусственным. Большая часть экономических проблем сводится к линейным моделям. В задаче нелинейного программирования (НЛП) требуется найти значение многомерной переменной х=(), минимизирующее целевую функцию f(x) при условиях, когда на переменную х наложены ограничения типа неравенств
Маркетинг: Функции и задачи маркетинга,
... понятие маркетинга значительно расширяет термин «сбыт». Основное отличие заключается в осознании необходимости учитывать и изучать обратные рыночные отношения: от потребителей через торговцев и посредников до производителей. 3. Производственные функции маркетинга ... разработка и накопление математических моделей, статистических методов и компьютерных алгоритмов для решения маркетинговых задач. ...
hi(x)? 0, i=1,2,…,m (1)
а переменные x(j), т.е. компоненты вектора х, неотрицательны:
x(j)? 0 (2)
Иногда в формулировке задачи ограничения (1) имеют противоположные знаки неравенств. Учитывая, однако, что если hi(x)? 0 , то -hi(x)? 0 , всегда можно свести задачу к неравенствам одного знака. Если некоторые ограничения входят в задачу со знаком равенства, например ц(x) = 0, то их можно представить в виде пары неравенств ц(x)? 0, -ц(x)? 0, сохранив тем самым типовую формулировку задачи.
2.2 Критерии оптимальности в задачах с ограничениями
Ряд инженерных проблем связан с оптимизацией при наличии ряда ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения существенно уменьшают размер области поиска оптимума. На первый взгляд может показаться, что уменьшение размера допустимой области должно упростить процедуру поиска оптимума. Между тем, наоборот, процесс оптимизации усложняется, поскольку установленные выше критерии оптимальности не могут использоваться при наличии ограничений. В этом случае может быть нарушено и основное условие, согласно которому оптимум должен быть достигнут в стационарной точке, характеризующейся нулевым градиентом. Например, безусловный минимум функции имеет место в стационарной точке х=2. Но если задача минимизации решается с учетом ограничения, то будет найден условный минимум, которому соответствует точка x=4. Эта точка не является стационарной точкой функции f, так как(4)=4. Далее мы исследуем необходимые и достаточные условия оптимальности решения задачи с ограничениями. Презентация начинается с рассмотрения задач оптимизации, которые содержат только ограничения типа равенства.
2.3 Решение задачи
На предприятии имеется два вида ресурсов. Определить оптимальное распределение значений ресурсов, затраченных на производство данного продукта, если цена ресурса первого типа составляет 3 единицы, второго — 4 единицы, а всего выделено 24 единицы для производства. известно, что из количества x первого ресурса и второго ресурса мы получаем xy 2 2 + единиц продукта.
Решение. Пусть x — количество ресурсов первого типа, y — количество ресурсов второго типа. Математическая модель задачи: на множестве ограничений.
Множество допустимых решений заштриховано на рис. 1. Если целевой функции придавать фиксированные значения 1, 2, 3,…, то будем получать окружности с центром в начале координат и радиусом 1, 2, 3, … Начертим ряд окружностей (линии уровня целевой функции).
Из рисунка видно, что функция z = х у 2 2 + достигает наибольшего значения, равного 8, в точке А (8;0), т.е. zmax=z (8;0)=8. Это означает, что количество первого ресурса должно быть 8, а использование второго ресурса нерационально.
Заключение
Современная фаза человеческого развития отличается тем, что на смену эпохе энергетики приходит век информационных технологий. Интенсивно внедряются новые технологии во все сферы человеческой деятельности. Существует реальная проблема перехода к информационному обществу, для которого развитие образования должно стать приоритетом. Изменяется и структура знаний в обществе. Фундаментальные знания, способствующие творческому развитию личности, приобретают все большее значение в практической жизни. Важна также конструктивность полученных знаний, умение их структурировать в соответствии с поставленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества. Обучение и получение новых знаний должно основываться на строгой методологии системного подхода, в котором модельный подход занимает отдельное место. Возможности подхода к моделированию чрезвычайно разнообразны как с точки зрения используемых формальных моделей, так и способов реализации методов моделирования. Физическое моделирование дает надежные результаты для довольно простых систем.
Международный имидж страны и мои предложения по его оптимизации»
... скотское отношение к своему народу. Что нужно сделать, чтобы улучшить наш имидж? На мой взгляд, незачем выглядеть большой страной. ДОЛЖЕН БЫТЬ !!! Величие страны не в миллиардах тонн нефти, ... из выпадов мистера Вилларда против советской внешней политики, которая стала такой же аморальной, такой же убийственной, такой же антисоциальной, как и внешняя политика гитлеровской Германии». Французская газета ...
На данный момент невозможно назвать область человеческой деятельности, в которой методы моделирования так или иначе не использовались бы. Это особенно верно для управления различными системами, где основными процессами являются принятие решений на основе полученной информации.
Список литературы
[Электронный ресурс]//URL: https://marketing.econlib.ru/kursovaya/marketingovyie-prilojeniya-nelineynogo-programmirovaniya/
1. Высшая Математика, ТВ и МС, Мат. Методы «Математические методы Попова Н.В».
2. «Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации». Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Москва 2011 г.
3. Методы условной оптимизации: Рек.к выполнению лаб. и практ. раб. Шипилов С.А: 2-еКемГУ.-2-е изд. перераб.- Новокузнецк.2002 г.
